MODEL PEMBELAJARAN KUMON

PEMBAHASAN

A.    Definisi Model Pembelajaran Kumon

Metode adalah suatu cara yang dipergunakan untuk mencapai tujuan yang telah ditetapkan. Dalam kegiatan belajar mengajar, metode diperlukan oleh guru dan penggunaannya bervariasi sesuai dengan tujuan yang ingin dicapai setelah pengajaran berakhir. Seorang guru tidak akan dapat melaksanakan tugasnya bila dia tidak menguasai satu pun metode mengajar yang telah dirumuskan yang telah dirumuskan dan dikemukakan para ahli psikologi dan pendidikan (Djamarah, 2002:53).

Sedangkan menurut sedangkan Wina Senjaya (dalam Sudrajat, 2008) metode adalah “a way in achieving something” (Wina Senjaya (2008). Sedangkan Sudrajat menyimpulkan bahwa metode pembelajaran dapat diartikan sebagai cara yang digunakan untuk mengimplementasikan rencana yang sudah disusun dalam bentuk kegiatan nyata dan praktis untuk mencapai tujuan pembelajaran. (sudrajat, Online 19 Maret 2008).

Model merupakan pola umum perilaku pembelajaran untuk mencapai tujuan pembelajaran yang diharapkan.

Pembelajaran adalah  interaksi dua arah yang dari seorang guru dan peserta didik, dimana antara keduanya terjadi komunikasi (transfer) yang intens dan terarah menuju pada suatu target yang telah ditetapkan sebelumnya ( Trianto,2011:17).

Menurut Joyce dan Weil  berpendapat bahwa model pembelajaran adalah suatu rencana/pola yang dapat digunakan untuk membentuk kurikulum, merancang bahan-bahan pembelajaran, dan membimbing pembelajaran di kelas/ di luar kelas (Rusman,2011: 133).

Maka sesuai dengan pengertian-pengertian di atas maka peneliti menggunakan metode Kumon. Kumon adalah sistem belajar yang memberikan program belajar secara perseorangan sesuai dengan kemampuan masing-masing, yang memungkinkan anak menggali potensi dirinya dan mengembangkan kemampuannya secara maksimal.

Metode kumon dewasa ini, selain untuk kelas matematika, juga digunakan pada kelas bahasa Inggris dan dilakukan di kelas khusus –luar sekolah-. Melihat pe-lejit-an kompetensi siswa yang besar setelah diterapkannya metode kumon pada kelas khusus tersebut maka metode ini dapat dijadikan alternatif metode belajar di kelas atau sekolah dengan berbagai kreasi penunjang lain

Menurut Herdian S.Pd.,M.Pd. Model pembelajaran kumon adalah pembelajaran dengan mengaitkan antar konsep, ketrampilan, kerja individual, dan menjaga suasana nyaman-menyenangkan.

Sintaksnya adalah:

a)      Sajian konsep

b)      Latihan,

c)      Tiap siswa selesai tugas langsung diperiksa-dinilai,

d)     Jika keliru langsung dikembalikan untuk diperbaiki dan diperiksa lagi,

e)      Lima kali salah guru membimbing.

Melalui pelajaran Matematika dan Bahasa Inggris, Kumon tidak hanya membentuk kemampuan akademik saja, akan tetapi juga membentuk karakter yang positif dan “life-skills” (ketrampilan hidup) yang akan berguna bagi masa depan anak.

Kumon bertujuan agar setiap siswa memilih kemampuan dasar yang kuat, kemandirian dan rasa percaya diri untuk mengembangkan dirinya masing-masing dan kemampuan untuk mengidentifikasikan dan menyelesaikan permasalahan dengan kemampuannya sendiri sehingga mereka dapat memberikan sumbangan yang berarti bagi masyarakat dan memberikan kontribusi bagi layanan pengembangan pendidikan.

Model pembelajaran kumon memiliki keistimewaan yaitu:

1)        Memulai dari level yang tepat akan menumbuhkan kecintaan belajar.

2)        Sesuai dengan kemampuan karena sebelum anak belajar ada tes penempatan.

3)        Maju dengan kemampuan sendiri.

4)        Bahan pelajaran tersusun atas langkah-langkah kecil (small steps) sehingga memperoleh kemampuan dasar yang kuat untuk mencapai tingkat yang lebih tinggi.

5)        Lembar kerja Kumon disusun untuk menumbuhkan sikap belajar mandiri.

6)        Anak mengerjakan soal secara mandiri bertahap dari tingkat yang mudah sampai tingkat yang lebih sulit.

7)        Mengembangkan kebiasaan belajar yang baik dan kemampuan belajar mandiri.

8)        Maju melampaui tingkatan kelas.

9)        Di Kumon, orangtua memegang peranan yang sangat penting.

10)    Belajar secara kontinu dengan metode Kumon akan bermanfaat dalam membentuk masa depan anak.

B.     Sejarah Metode Pembelajaran Kumon

Kumon, dapat dikatakan sebagai bagian dari Mastery Learning (belajar tuntas), perbedaannya dengan sistem modul adalah pada jumlah lembar kerja maupun tingkat bahan pelajarannya.

Metode Kumon adalah suatu model belajar dari Jepang dan dikembangkan pertama kali oleh Toru Kumon, seorang guru matematika SMA yang pada awalnya ingin membantu pelajaran matematika anaknya yang waktu itu masih duduk di kelas 2 SD. Ia kemudian merancang suatu sistem agar anaknya dapat belajar secara efektif, sistematis, serta memiliki dasar-dasar Matematika yang kuat.

Yang dilakukannya adalah mengacu pada sasaran “Matematika tingkat SMA”
Membuat lembar kerja dengan susunan pelajaran yang meningkat secara ”step by step” Memberikan lembar kerja yang dapat diselesaikan oleh anaknya setiap hari dalam waktu kurang dari 30 menit.

Pada Juli 1954, Takeshi mulai menggunakan materi buatan ayahnya ketika ia di kelas 2 SD. Ia mulai dengan soal-soal penjumlahan dan maju secara cepat. Ia berlatih dengan sistem belajar ini secara rutin setiap hari. Hasilnya, ia dapat menyelesaikan Persamaan Diferensial dan Kalkulus Integral setara pelajaran tingkat SMA, ketika masih duduk di kelas 6 SD.

C.    Prinsip Model Pembelajaran Kumon

Prinsip dasar metode yang disebarluaskan ke Indonesia pada Oktober 1993 ini adalah pengakuan tentang potensi dan kemampuan individual tiap siswa. Siswa mempunyai potensi yang tidak terbatas. Untuk mengembangkan potensi ini secara maksimal, diperlukan bimbingan dan lingkungan yang mendukung tanpa membatasi usia siswa. Bahkan siswa usia prasekolah yang belum bisa memegang pensil pun dapat memulai belajar dengan metode KUMON.

Karena sesuai dengan potensinya masing-masing, akan lebih mudah bagi siswa mempelajarinya

Kumon menilai kunci keberhasilan belajar matematika adalah dengan banyak berlatih. Tak heran bila selama belajar dengan Metode Kumon siswa akan mendapat banyak porsi latihan.

Dalam metode Kumon siswa yang sudah punya kemampuan cukup yang bisa maju ke tingkat lebih tinggi. Bagi yang belum cukup akan terus mendapat pengulangan, sehingga nantinya ia tidak mendapat kesulitan saat mengerjakan bahan pelajaran yang lebih tinggi.

Namun, kenaikan tingkat sering kali tidak terasa. Ini karena perubahan bahan pelajaran dibuat sedemikian kecil, bahkan halus dan sistematis. Bahan pelajaran meningkat seiring dengan kemampuan penalaran sendiri, jarang sekali ia harus minta bantuan guru. Cara ini akan membentuk kebiasaan belajar mandiri yang berguna untuk menggali potensi diri-sendiri.

Menurut Winarno Surakhmad mengatakan, bahwa pemilihan dan penentuan metode dipengaruhi oleh beberapa faktor, sebagai berikut:

Ø  Siswa adalah manusia berpotensi yang menghajatkan pendidikan.

Ø  Tujuan adalah Sasaran yang dituju dari setiap kegiatan belajar mengajar.

Ø  Situasi, dalam kegiatan belajar mengajar yag harus guru ciptakan tidak selamanya sama dari hari kehari dan waktu yang tersedia cukup untuk bahan pengajaran yang ditentukan.

Ø  Fasilitas adalah kelengkapan yang menunjang belajar siswa disekolah.

Ø  Guru, dalam hal ini adalah permasalahan intern guru yang dapat mempengaruhi pemilihan dan penentuan metode mengajar misalnya; kepribadian, latar belakang pendidikan dan pengalaman mengajar.

Begitu metode ini sudah dimengerti siswa, ia bisa mempraktikkannya sendiri di rumah dengan berlatih soal-soal dan kesulitan-kesulitannya di sekolah. Bila terus dilatih, kemampuannya akan terus terasah. Bahkan metode Kumon ini bisa juga diajarkan pada anak usia prasekolah. Karena belum bisa menulis, biasanya mereka diberi alat bantu berupa papan bilangan magnetik, jigsaw puzzle, kartu bilangan dan sebagainya, hal tersebut mampu membentuk kecenderungan siswa yang tentunya kecenderungan itu akan menyesuaikan dengan minat dan bakatnya.

Program Kumon tidak hanya mengajarkan cara berhitung tetapi juga dapat meningkatkan kemampuan siswa untuk lebih fokus dalam mengerjakan sesuatu sehingga mampu meningkatkan kepercayaan diri siswa. Kemampuan tersebut akan terlihat dari kemampuan siswa dalam menyelesaikan soal dengan cara mereka sendiri. Peserta program akan diajarkan dasar-dasar soal untuk bisa menyelesaikannya yang lebih sulit.

Metode Kumon yang diberikan secara perorangan pada tingkatan dan porsi yang tepat akan mengembangkan kemampuan matematika siswa. Selain itu belajar dalam waktu yang singkat dan rutin setiap harinya, maka dalam diri siswa akan terbentuk kemampuan berkonsentrasi, ketangkasan kerja, kemampuan berpikir, kebiasaan belajar dan rasa percaya diri yang merupakan dasar untuk mempelajari hal-hal lainnya.

D.    Kelebihan Dan Kekurangan Metode Kumon

Dibawah ini ada beberapa Kelebihan dan kelemahan dari metode pembelajaran kumon yaitu:

1.    Kelebihan Metode Kumon

a.    Sesuai dengan kemampuan karena sebelum anak belajar ada tes penempatan sehingga anak tidak merasa tersiksa.

b.    Bahan pelajaran tersusun atas langkah-langkah kecil sehingga anak bisa memperoleh kemampuan dasar yang kuat.

c.    Anak mengerjakan soal secara mandiri bertahap dari tingkat yang mudah sampai tingkat yang lebih sulit bila mengalami kesulitan bisa melihat buku penyelesaian sehingga pembelajaran akan lebih bermakna.

2.    Kelemahan Metode Kumon

a.    Tidak semua siswa dalam satu kelas memiliki kemampuan yang sama.

b.    Anak belajar secara perorangan sehingga dimungkinkan tumbuh rasa individualisme.

c.    Kedisiplinan kumon kadang membuat anak-anak menjadi tidak kreatif.

E.     Langkah-langkah model pembelajaran kumon

1.    Penerapan dalam pembelajaran

Dalam penerapannya metode kumon ini dibagi kedalam 8 tahap, yaitu:

a.    Mula-mula, guru menyajikan konsep dan siswa memperhatikan penyajian tersebut.

b.    Kemudian siswa mengambil buku saku yang telah disediakan, menyerahkan lembar  kerja PR yang sudah dikerjakannya di rumah, dan mengambil lembar kerja yang telah dipersiapkan guru untuk dikerjakan siswa pada hari tersebut.

c.    Siswa duduk dan mulai mengerjakan lembar kerjanya. Karena pelajaran diprogram sesuai dengan kemampuan masing-masing, biasanya siswa dapat mengerjakan lembar kerja tersebut dengan lancar.

d.   Setelah selesai mengerjakan, lembar kerja diserahkan kepada guru untuk diperiksa dan diberi nilai. Sementara lembar kerjanya dinilai, siswa berlatih dengan alat bantu belajar.

e.    Setelah lembar kerja selesai diperiksa dan diberi nilai, guru mencatat hasil belajar hari itu pada “Daftar Nilai”. Hasil ini nantinya akan dianalisa untuk penyusunan program belajar berikutnya.

f.     Bila ada bagian yang masih salah, siswa diminta untuk membetulkan bagian tersebut hingga semua lembar kerjanya memperoleh nilai 100. Tujuannya, agar siswa menguasai pelajaran dan tidak mengulangi kesalahan yang sama.

g.    Jika siswa sampai mengulang 5 kali, maka guru melakukan pendekatan kepada siswa dan menanyakan tentang kesulitan-kesulitan yang dihadapi.

h.    Setelah selesai, siswa mengikuti latihan secara lisan. Sebelum pulang, guru memberikan evaluasi terhadap pekerjaan siswa hari itu dan memberitahu materi yang akan dikerjakan siswa pada hari berikutnya.

2.    Alur Belajar Metode Kumon

Pembimbing Kumon mendukung setiap siswa dalam mengembangkan kemampuan belajar mandiri. Alur belajar dalam metode ini melibatkan pembimbing dari awal n untuk terus mengawasi masing-masing peserta didik. Langkah-langkah dalam pembelajaran Kumon diantarany adalah:

a.       Tes Penempatan

Pertama-tama siswa akan mengerjakan Tes Penempatan. Guru kemudian akan menganalisa hasil tesnya dengan cermat dan menentukan level awal siswa. Program Kumon terdiri dari rangkaian lembar kerja yang terdiri dari beberapa level, dan siswa maju ke level berikutnya dengan kemampuannya sendiri. Menentukan level awal yang tepat adalah kunci untuk belajar mandiri sejak dari awal belajar di Kumon

b.      Datang ke kelas Kumon 2 kali seminggu

Biasanya mempelajari lembar kerja secara mandiri. Siswa datang ke kelas Kumon 2 kali seminggu, karena Kumon menekankan pentingnya belajar mandiri.

c.       Pembimbing mendukung belajar mandiri

Memastikan tingkatan belajar yang tepat. Sebelum hari belajar di kelas dimulai, pembimbing menyiapkan lembar kerja yang tepat untuk setiap siswa. Di kelas, pembimbing mengamati siswa dengan cermat, untuk memastikan setiap siswa belajar pada tingkatan yang tepat untuknya.

d.      Lembar kerja dikerjakan oleh siswa secara mandiri

Mengembangkan kebiasaan belajar yang baik dan memperdalam pemahaman. Setelah menyelesaikan pelajarannya hari itu, siswa menyerahkan lembar kerja yang telah dikerjakan kepada Pembimbing. Lalu dinilai dan jika ada kesalahan siswa membettulkannya sendiri.

e.       Senang mengerjakan pekerjaan rumah setiap hari

Setiap siswa diberikan pekerjaan rumah dengan tingkatan yang tepat. Setelah siswa menyelesaikan pelajarannya di kelas kumon, pembimbing memberikan lembar kerja yang tepat untuk dikerjakan di rumah. Pekerjaan rumah yang telah dikumpulkan kemudian dinilai oleh pembimbing dan jika perlu, siswa memperbaiki lembar kerjanya dengan mandiri sampai semuanya jawabannya benar.

Cara belajar di kumon antara lain :

·         Siswa mulai belajar dari bagian yang mudah

·         Pembimbing membuat perkiraan belajar siswa secara perseorangan

·         Siswa mengerjakan PR setiap hari

·         Kecepatan dan ketelitian adalah faktor penting dalam memajukan lembar kerja

·         Pembimbing mengamati dan memberikan bimbingan secara perseorangan kepada setiap anak

·         Siswa mencari dan membetulkan kesalahan secara mandiri

·         Pembimbing selalu memotivasi dan menghargai hasil belajar siswa

·         Pembimbing dan siswa bersama-sama mendiskusikan target belajar

·         Siswa mengerjakan lembar kerja secara mandiri dengan mengikuti contoh soal

·         Pembimbing selalu memotivasi siswa untuk belajar di atas tingkatan kelasnya

Dalam penerapannya metode ini membagi kedalam 6 tahap, diantaranya:

1.    Mula-mula, anak mengambil buku saku yang telah disediakan, menyerahkan lembar kerja PR yang sudah dikerjakannya di rumah, dan mengambil lembar kerja yang telah dipersiapkan pembimbing untuk dikerjakan anak pada hari tersebut.

2.    Anak duduk dan mulai mengerjakan lembar kerjanya. Karena pelajaran diprogram sesuai dengan kemampuan masing-masing, biasanya anak dapat mengerjakan lembar kerja tersebut dengan lancar.

3.    Setelah selesai mengerjakan, lembar kerja diserahkan kepada pembimbing untuk diperiksa dan diberi nilai. Sementara lembar kerjanya dinilai, anak berlatih dengan alat bantu belajar.

4.    Setelah lembar kerja selesai diperiksa dan diberi nilai, pembimbing mencatat hasil belajar hari itu pada “Daftar Nilai”. Hasil ini nantinya akan dianalisa untuk penyusunan program belajar berikutnya.

5.    Bila ada bagian yang masih salah, anak diminta untuk membetulkan bagian tersebut hingga semua lembar kerjanya memperoleh nilai 100. Tujuannya, agar anak menguasai pelajaran dan tidak mengulangi kesalahan yang sama.

6.    Setelah selesai, anak mengikuti latihan secara lisan. Sebelum pulang, pembimbing memberikan evaluasi terhadap pekerjaan anak hari itu dan memberitahu materi yang akan dikerjakan anak pada hari berikutnya.

F.     HASIL BELAJAR

Program dan bimbingan metode Kumon yang diberikan secara perorangan pada tingkatan dan porsi yang tepat akan mengembangkan kemampuan matematika anak. Selain itu belajar dalam waktu yang singkat dan rutin. Setiap harinya, maka dalam diri anak akan terbentuk kemampuan berkonsentrasi, ketangkasan kerja, kemampuan berpikir, kebiasaan belajar dan rasa percaya diri yang merupakan dasar untuk mempelajari hal-hal lainnya.

Hasil belajar siswa Kumon bervariasi. Ada siswa yang menyelesaikan seluruh bahan pelajaran metode Kumon. Namun demikian, ada beberapa yang agak lambat, tetapi dapat dikatakan cepat apabila dibandingkan dengan metode biasa.

Program dan bimbingan Metode Kumon yang diberikan secara perorangan pada tingkatan dan porsi yang tepat akan mengembangkan kemampuan matematika anak. Selain itu belajar dalam waktu yang singkat dan rutin setiap harinya, maka dalam diri anak akan terbentuk kemampuan berkonsentrasi, ketangkasan kerja, kemampuan berpikir, kebiasaan belajar dan rasa percaya diri yang merupakan dasar untuk mempelajari hal-hal lainnya.

Di dalam metode Kumon biasanya di gunakan cara penyelesaian soal yang singkat agar waktu yang digunakan lebih efisien.

G.    KAJIAN KONSEP MATA PELAJARAN MATEMATIKA

1.    PERSAMAAN LINGKARAN

a.    Definisi

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik-titik tertentu yang digambarkan pada bidang Cartesius.  Titik tertentu itu disebut pusat lingkaran dan jarak  yang sama disebut jari-jari, dinotasikan dengan r.

          Perhatikan gambar dibawah ini:

Pusat lingkaran L adalah (a, b), titik-titik A₁(), A₂(, A₃, dan A₄( pada lingkaran L, dan jari-jari lingkaran adalah r. Dalam menentukan persamaan lingkaran, kita harus mengerti tentang formula untuk jarak. Berikut ini beberapa formula untuk menentukan jarak

1.      Jarak antara dua titik A() dan B( , ditentukan oleh:

j =  atau j = .

2.      Jarak titik A() terhadap garis lurus ax + by + c = 0 ditentukan oleh:

j = 

            Bentuk persamaan lingkaran bergantung pada letak pusat lingkaaran dan jari-jarinya.

b.   Persamaan Lingkaran yang Berpusat di O(0, 0) dan Berjari-jari r

Pada gambar diatas menunjukkan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan berjari-jari r pada sebuah bidang Cartesius. Misalkan P(x, y) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran. Titik P’ adalah proyeksi titik P pada sumbu X sehingga OP’P siku-siku di P’.

        Dengan menggunakan teorema Phytagoras, diperoleh:

Persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) dan berjari-jari r ditentukan oleh:

=

Posisi suatu titik P(a, b) terhadap lingkaran L = =

        Penentuan posisi suatu titik P(a, b) terhadap lingkaran L = = dilakukan dengan mensubtitusikan x = a dan y = b ke lingkaran itu dan membandingkannya dengan nilai . Kemungkinan posisi titik P(a, b), sebagai berikut:

1.      P(a, b) didalam lingkaran L

 

Hubungan yang harus ditaati:

2.      P(a, b) pada lingkaran L

 

Hubungan yang harus ditaati:

3.      P(a, b) diluar lingkaran L

 

Hubungan yang harusditaati:

c.    Persamaan Lingkaran yang Berpusat di A(a, b) dan Berjari-jari r

 

                                                                                                                                                           

                                                              

Bila pusat lingkaran L tidak berimpit dengan titik pangkal O(0, 0) tapi dititik A(a, b), maka untuk setiap titik P(x, y) yang terletak pada lingkaran L berdasarkan formula jarak antara dua titik diperoleh:

L =

 =

=

Persamaan dinamakan persamaan lingkaran dengan pusat A(a, b) dan jari-jari r.

Posisisuatutitik P(c, d) terhadaplingkaran L

Penentuan posisi suatu titik P(c, d) terhadap lingkaran L dilakukan dengan mensubtusikan P(c, d) kelingkaran tersebut dan membandingkannya dengan r². Kemungkinan posisi titik P(c, d) sebagai berikut:

1.      P(c, d) di dalam lingkaran L

 

                                                                                      

Hubungan yang harusditaati:

                                                                                      

2.      P(c, d) padalingkaran

 

Hubungan yang harusditaati:

3.      P(c, d) di luarlingkaran L

Hubungan yang harusditaati:

d.      Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

1.      Menyatakan Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Pada persamaan yang lalu telah diuraikan persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan jari-jari r adalah . Persamaan ini dapat juga diuraikan kebentuk lain yaitu:

Jika -2a = 2A dan, maka diperoleh bentuk umum persamaan lingkaran:

Perhatikan hubungan: A= -2a diperoleh a= , B= -2b diperoleh b = , dan        

C =

 - C

r =  

Berdasarkan uraian diatas dapat dituliskan sebagai berikut:

1.      Persamaan lingkaran mempunyai bentuk umum sebagai berikut:

 dengan:

Pusat () dan r =

2.       dengan:

Pusat () dan r =

Posisi suatu titik T (p,q) terhadap lingkaran L = x² + y² + Ax + By + C = 0

            Penentuan posisi suatu titik T(p,q) terhadap lingkaran L = x² + y² + Ax + By + C = 0 dilakukan dengan mensubsitusikan T(p,q) kelingkaran L maka diperoleh

 K = p² + p² +Ap+ Bp + C  nilai K disebut kuasa titik T(p,q) terhadap lingkaran

L = x² + y² + Ax + By + C = 0.

Dengan melihat nilai K kita dapat menentukan posisi titik T(p,q) terhadap lingkaran L sebagai berikut :

1.      T(p,q) di dalam lingkaran

 

Hubungan yang harus di taati : K_T< 0

2.      T(p,q) pada lingkaran L

 

Hubungan yang harus di taati : K_T = 0

3.      T(p,q) di luar lingkaran L

			T(p, q)

 

Hubungan yang harus di taati : K_T> 0

Jarak titik A(x₁,y₁) terhadap lingkaran L yang berpusat di P(a,b) dan berjari–jari r

Jarak titik A(x₁,y₁) Terhadap lingkaran L yang berpusat di P(a,b) dan berjari – jari r dapat ditentukan melalui posisi titik itu terhadap lingkaran..

(i)                 Posisi titik A(x₁,y₁ ) pada lingkaran L karena titik A(x₁,y₁ ) pada lingkaran L maka L(x₁,y₁ ) = 0 dan :

Jarak = 0

(ii). Posisi titik A(x₁,y₁) dalam lingkaran L maka L(x₁,y₁ ) < 0 dan :

Ø  Jarak terdekat = AB ditentukan oleh :

AB = r – PA

Ø  Jarak terjauh = AC ditentukan oleh :

AC = AP + r

Dengan PA = jarak titik A kepusat lingkaran.

(iii). Posisi titik A(x₁,y₁) di luar lingkaran L maka L(x₁,y₁ ) > 0 dan

Ø  Jarak terdekat = AB ditentukan oleh

AB = PA – r

Ø  Jarak terjauh = AC ditentukan oleh :AC =   =

2.    KEDUDUKAN GARIS TERHADAP LINGKARAN

Misalkan diketahui garis lurus g dengan persamaan y = mx + k dan lingkaran

L =  + By + C = 0. Secara aljabar, kita dapat mensubtitusikan persamaan garis g ke dalam persamaan lingkaran L hingga di peroleh :

 + Ax + B(mx + k) + C = 0

                (

Berdasarkan tinjauan diskriminan D =  dapat ditentukan posisi garis g terhadap lingkaran L sebagai berikut :

(i)     Bila D > 0 maka garis g  memotong lingkaran L di dua titik berlainan.

(ii)   Bila D = 0  maka garis g menyinggung lingkaran L.

(iii) Bila D < 0 maka garis g  tidak memotong maupun menyinggung lingkaran L

Ketiga kondisi diatas secara geometri bidang dapat dilukiskan sebagai berikut. :

(i)    

g

Garis g memotong lingkaran L

 

Hubungan yang harus di taati D> 0

(ii)   Garis g menyinggung lingkaran L

 

Hubungan yang harus di taati D = 0

(iii) Garis g tidak memotong maupun menyinggung lingkaran L

 

Hubungan yang harus di taati D < 0

3.      PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

Persamaan garis singgung lingkaran dapat ditentukan apabila diketahui satu diantara ketiga keterangan berikut ini :

1.      Suatu titik pada lingkaran yang dilalui oleh garis singgung tersebut diketahui.

2.      Gradien garis singgung tersebut diketahui.

3.      Suatu titik di luar lingkaran yang dilalui oleh garis singgung tersebut diketahui.

a.      Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Melalui Sebuah Titik Pada Lingkaran.

1)      Untuk Lingkaran dengan Pusat di O (0,0) dan Jari-Jari r

   Y

 

g

 

Persamaan garis singgung g dapat ditentukan sebagai berikut

Ø  Gradien garis OP adalah m_OP=

Ø  Karena garis singgung g tegak lurus dengan OP maka gradiennya :

m_g = -  = -  = -

Ø  Persamaan garis singgung g adalah :

y – y₁= m_g (x – x₁)

ó y – y₁ = - (x – x₁)

ó y₁y – y₁² = -x₁x + x₁²

ó x₁x + y₁y = x₁² + y₁²

ó x₁x + y₁y = r²

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran L  x² + y² = r² yang melalui titik P (x₁,y₁) pada lingkaran ditentukan dengan rumus sebagai berikut.

 

2)      Untuk Lingkaran dengan Pusat di A (a,b) dan Jari-Jari r

 

Persamaan garis singgung g pada lingkaran L  (x-a)² + (y-b)² = r² yang melalui titik singgung P(x₁, y₁) dapat ditentukan sebagai berikut.

Ø  Gradien garis AP adalah m_AP=

Ø  Garis singgung g tegak lurus garis AP

Ø  Persamaangarissinggung g adalah :

y – y₁ = m_g (x – x₁)

ó y – y₁ = -  (x – x₁)

ó (y – y₁) (y₁ – b) = - (x₁-a) (x – x₁)

ó y₁y – y₁² – by + by₁ = - (x₁x –ax - x₁² + ax₁)

ó x₁x – ax - x₁² + ax₁ + y₁y – y₁² – by + by₁ = 0

ó x₁x – ax + ax₁ + y₁y – by + by₁ = x₁² + y₁²  ……(*)

Karena P(x₁, y₁) terletak pada lingkaran L  (x-a)² + (y-b)² = r², maka berlaku

(x-a)² + (y-b)² = r²

ó x₁² – 2x₁ + a² + y₁² – 2by₁ + b² = r²

ó x₁² + y₁² = 2x₁ - a² + 2by₁ - b² +  r²

Substitusi x₁² + y₁² = 2x₁ - a² + 2by₁ - b² +  r² kepersamaan (*) diperoleh :

x₁x – ax + ax₁ + y₁y – by + by₁ = 2x₁ - a² + 2by₁ - b² +  r²

ó (x₁x – ax + ax₁- 2x₁ + a²) + (y₁y – by + by₁- 2by₁ + b²) = r²

ó (x₁x – ax + ax₁+ a²) + (y₁y – by - by₁+ b²) = r²

ó (x₁ – a) (x – a) + (y₁ – b) (y – b) = r²

Berdasarkan deskripsi di atas, persamaan garis singgung pada lingkaran L   (x-a)² + (y-b)² = r² yang melalui titik singgung  P(x₁, y₁) ditentukan dengan rumus sebagai berikut :

b.      Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Gradiennya Diketahui.

1)      Untuk Lingkaran dengan Pusat di O (0,0) dan Jari-Jari r

Persamaaan garis singgung pada lingkaran L  x² + y² = r² jika gradient garis singgung m diketahui, dapat ditentukan sebagai berikut.

Ø  Persamaan garis dengan gradient m adalah y = mx + n (n akan ditentukan kemudian)

Ø  Substitusi y = mx + n kepersamaan lingkaran L  x² + y² = r² diperoleh :

x²+ (mx + n)² = r²

ó  x² + m²x² + 2mnx + n² = r²

ó (1 + m²)x² + 2mnx + (n² - r²) = 0

Nilai diskriminan persamaan kuadrat (1 + m²)x²+ 2mnx + (n² - r²) = 0 adalah

D = (2mn)² – 4 (1 + m²) (n² - r²)

ó D = 4m²n² – 4 (m²n² - m²r² + n²  - r²)

ó D = 4m²n² - 4m²n² + 4m²r² - 4n² + 4r²

ó D = 4(m²r² - n² + r²)

Ø  Karena garis singgung menyinggung lingkaran , maka nilaidiskriminan D = 0

4(m²r² - n² + r²)

ó m²r² - n² + r² = 0

ó                   n² = r² (1 + m²)

ó                   n² =  r

Ø  Substitusi n =  r   ke persamaan  garis y = mx + n, sehingga diperoleh

y = mx  r

dari deskripsi di atas, persamaan garis singgung pada lingkaran L x² + y² = r² dengan gradien m dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut

 

2)      Untuk Lingkaran dengan Pusat di A(a,b) dan Jari-Jari r

Persamaan garis singgung pada lingkaran L   (x-a)² + (y-b)² = r² dengan gradien m dapat ditentukan dengan rumus :

 

c.       Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Melalui Sebuah Titik di Luar Lingkaran.

 

Cara untuk menentukan persamaan-persamaan garis singgung lingkaran pada gambar yaitu :

Pertama :

Persamaan garis melalui P(x­₁,y₁), dimisalkan gradiennya m (nilai m ditentukan kemudian). Persamaannya adalah y – y₁ = m(x – x₁) atau y = mx – mx₁ + y₁

Kedua  :

Substitusikan y = mx – mx₁ + y₁ kepersamaan lingkaran, sehingga diperoleh persamaan kuadrat gabungan. Kemudian nilai diskriminan D dari persamaan kuadrat gabungan itu dihitung.

Ketiga :

Karena garis menyinggung lingkaran, maka nilai diskriminan D =0. Dari syarat D = 0 di peroleh nilai-nilai m. substitusikan nilai-nilai m kepersamaan  y = mx – mx₁ + y₁, sehingga diperoleh persamaan-persamaan garis singgung yang diminta.

4.      HUBUNGAN DUA LINGKARAN

Misalkan lingkaran L₁ dengan pusat P₁ dan jari – jari r₁ serta lingkaran L₂ dengan pusat P₂ dan jari – jari r₂ maka hubungan kedua lingkaran tersebut dapat diuraikan sebagai berikut

i.                    L₁sepusat dengan L₂

 

Syaratnya= 0

ii.                  L₁dan L₂ bersinggungan didalam

                 

 

Syaratnya:  =

iii.                L₂ di dalam L₁

 

Syaratnya:   ≤  

iv.                L₁  berpotongan denganL₂

 

Syaratnya:  < r₁+ r₂

v.                  L₁dan L₂ bersinggungan di luar

 

Syaratnya:   =

vi.                L₁dan L₂ tidak berpotongan maupun bersinggungan

 

Syaratnya:  > r₁+ r₂

ó  Aplikasi model pembelajaran kumon

v  Langkah pertama yaitu guru menyajikan konsep dan siswa memperhatikan penyajian tersebut.

v  Kemudian siswa mengambil buku saku yang telah disediakan, menyerahkan lembar kerja PR yang sudah dikerjakannya di rumah, dan mengambil lembar kerja yang telah dipersiapkan guru untuk dikerjakan siswa pada hari tersebut.

Lembar kerja siswa :

1.      Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat O(0, 0) dan berjari-jari 4

2.      Tentukan panjang jari-jari dari persamaan lingkaran

3.      Tentukan tempat kedudukan titik P(x, y) yang memenuhi hubungan {P(x, y)⃓ PB = 2PA}, apabila A(1, 0) dan B(4, 0).

4.      Tentukan persamaan lingkaran yang berdiameter (garis tengah) ruas garis AB untuk setiap pasang titik A dan titik B berikut: A(1, -2) dan B(-1, 2).

5.      Tanpa menggambar bidang Cartesius, tentukan pposisi titik P(a, b) terhadap lingkaran L berikut: P(2, 3) dan L

6.      Tentukan persamaan llingkaran berikut: Pusat A(5, -1), melalui titik P(-1, 7)

7.      Tentukan persamaan lingkaran yang diameternya adalah PQ, dengan P(3, -2) dan Q(5, 4).

8.      Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran berikut:

9.      Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L  x² + y² = 10 yang melalui titik (-3,1)

10.  Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L  (x - 3)² + (y  + 1)² = 25 yang melalui titik (7,2)

v  Siswa duduk dan mulai mengerjakan lembar kerjanya. Karena pelajaran diprogram sesuai dengan kemampuan masing-masing, biasanya siswa dapat mengerjakan lembar kerja tersebut dengan lancar

Jawaban :

1.      Persamaan lingkaran yang berpusat O(0, 0) dengan jari-jari r adalah  maka:

Jadi persamaan lingkarannya adalah  

2.      Diketahui persamaan lingkaran  berpusat dititik O(0, 0) dengan  = 36 maka r = 6

Jadi jari-jarinya adalah 6.

3.      PB = 2PA

PB² = 2PA²

(4 – 2)² + (0 – y)² = 4[(1 – x)² + (1 – y)²]

16 – 18x + x² + y² = 4[1 – 2x + x² + y²]

16 – 18x + x² + y² = 4 – 8x + 4x² + 4y²

3x² +3y²  = 16 – 4

3x² +3y² = 12

 atau

Jadi tempat kedudukan  titik P(x, y)  tersebut adlah lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari 2.

4.      Pusat lingkaran            = )

=()

                                                            r =

r =

r =

r =  . 2 =

persamaan lingkaran berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari r =  ditentukan oleh

Jadi persamaan lingkaran yang berdiameter AB dengan A(1, -2) dan B(-1, 2) adalah L _.

5.      P(2, 3) dan L

2² + 3² = 13  8

Jadi titik P(2, 3) terletak diluar lingkaran L

6.      Pusat A(5, -1), melalui titik P(-1, 7)

Persamaan lingkaran:

 = 36 + 64

Jadi persamaan lingkarannya adalah  = 100

7.      Penyelesaian:

Misalkan M pusat lingkaran dan titik tengah garis PQ.

Koordinat M( (3+5), (-2+4)) = M(4, 1)

Jari-jari = r = MP = MQ, sehingga diperoleh :

r =

r =

r =

Jadi persamaan lingkaran yang berdiameter adalah PQ, dengan P(3, -2) dan Q(5, 4) adalah persamaan lingkaran dengan pusat M(4, 1) dan berjari-jari r =  yaitu

 = 10

8.      Persamaan lingkaran  , dengan A = -4, B = 10 dan C = 4, maka diproleh:

Pusat lingkarannya adalah ( = ( = (2, 5)

Dan jari-jarinya:

r =

r =

r = .

r = .10 = 5

jadi lingkaran   berpusat dititik (2, -5)

dan berjari-jari r = 5

9.      Titik (-3, 1)

x₁ = -3 dan y₁ = 1 terletak pada L  x² + y² = 10

Persamaan garis singgung :

x₁x  +  y₁y = r²

(-3)x + (1)y = 10

-3x + y = 10

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran L  x² + y² = r² yang melalui titik (-3 , 1) adalah  -3x + y = 10

10.  Titik (7, 2)

x₁ = 7 dan y₁ = 2, terletak pada L  (x-3)² + (y +1)² = 25

persamaan garis singgungny adalah

(7 -3) (x – 3) + (2 +1) (y +1) =25

4x -12 +3y +3 = 25

4x +3y -34 = 0

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran L (x - 3)² + (y  + 1)² = 25 yang melalui titik (7,2) adalah 4x +3y -34 = 0

v  Setelah selesai mengerjakan, lembar kerja diserahkan kepada guru untuk diperiksa dan diberi nilai. Sementara lembar kerjanya dinilai, siswa berlatih dengan alat bantu belajar

v  Setelah lembar kerja selesai diperiksa dan diberi nilai, guru mencatat hasil belajar hari itu tentang lingkaran pada “Daftar Nilai”. Hasil ini nantinya akan dianalisa untuk penyusunan program belajar berikutnya.

v  Bila ada bagian yang masih salah, siswa diminta untuk membetulkan bagian tersebut hingga semua lembar kerjanya memperoleh nilai 100. Tujuannya, agar siswa menguasai pelajaran dan tidak mengulangi kesalahan yang sama.

v  Jika siswa sampai mengulang 5 kali, maka guru melakukan pendekatan kepada siswa dan menanyakan tentang kesulitan-kesulitan yang dihadapi (sharing).

v  Setelah selesai, siswa mengikuti latihan secara lisan. Sebelum pulang, guru memberikan evaluasi terhadap pekerjaan siswa hari itu dan memberitahu materi yang akan dikerjakan siswa pada hari berikutnya.

Pembimbing Kumon mendukung setiap siswa dalam mengembangkan kemampuan belajar mandiri. Alur belajar dalam metode ini melibatkan pembimbing dari awal pembelajaran untuk terus mengawasi masing-masing peserta didik.

DAFTAR PUSTAKA

Ogiono.2011.komik kumon matematika. Jakarta : elex media komputindo.

Rusman. 2011. Model-Model Pembelajaran: Mengembangkan Profesionalisme Guru. Jakarta: Rajawali Press

Sukino. 2006. Matematika Jilid 2A untuk Kelas XI Semester 1. Jakarta: Erlangga.

Trianto. 2011. Mendesain Model Pembelajaran Inovatif-Progresif:Konsep, landasan, dan impleentasinya pada kurikulum tingkat satuan pendidikan(ktsp). Jakarta:Kencana.

Wirodikormo Sartono. 2001. Matematika SMA 2 IPA untuk kelas X. Jakarta: Erlangga.

 Yohanes, S. 2008. MahirMatematika SMA. Jakarta: Kendi Mas Media

Mulyati Yanti dan Ai Tatiarsih. 2006. Matematika Jilid 2 Program Studi IPA SMA kelas XI. Jakarta : Piranti Darma Kalokatama.

http://akhmadsudrajat.wordpress.com/2008/09/12/pengertian-pendekatan-strategi-metode-teknik-taktik-dan-model-pembelajaran)

.